tips:本文逻辑和顺序可能混乱，因为作者是根据题目进行知识点的复习

1.在集合A上等价关系个数的计算

等价关系与划分一一对应，非空集合A上的等价关系个数等于A的划分个数，即等价关系个数等于划分个数。 转换为数学模型：即将n个小球放入m个相同的盒子中，并且不能出现空盒，不同的放球方式代表着不同的划分方式 再转换为第二类斯特林数：$S(n,m)$，代表以上方法

第二类斯特林数计算方法

1. 递推公式： 注意到等价于背包问题

4元集等价关系计算

1. 方法：利用第二类斯特林数计算
2. 过程：N = S(4,1) + S(4,2) + S(4,3) + S(4,4) = 1=7+6+1 = 15

6元集等价关系计算

1. 方法：利用第二类斯特林数计算
2. 过程：
   

Tips：列出从1-10的BEll数，为 1 , 2 , 5 , 15 , 52 , 203 , 877 , 4140 , 21147 , 115975

2.证明两个集合等势

方法：想办法构造一个双射从而使两个集合之间能够一一对应 常用方法：对于证明类似于[1 , 0]等势于 ，可以使用正切函数或余切函数进行构造

3.概念辨析

1. A不相容：对于任一解释，A中至少有一子句为假（或者称之为永假或不可满足或矛盾）
2. A相容：存在一种解释，使得A中所有子句为真（或称之为可满足）
3. Skolem范式：与A在不相容意义下保持等价
4. 良序集的条件：1.必须为全续集 2.任何非空子集必须有最小元素

4.证明无限集和实数集等势

方法：构造函数形如

$$f(x) = x , x \in R/(Q \cup Q) + \sqrt{2}$$

$$f(x) = g(x) , x \in (Q\cup Q) + \sqrt{2}$$

其中g(x)为 的映射。由于前者为可数集并可数集等于可数集，可数集与可数集之间一定存在一一映射，g(x)存在。 定义域为R，值域为 证明了该函数为从$ R $到$ R / Q $的一一映射，即等势得证

转自知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/385762588

5.一些基础（虽然可能不值得写）

1. 2. 3. 4.空关系是一种等价关系，具有传递性，自反性，对称性 5. 6.一个偏序关系的极大元需要属于这个集合，且极大元的定义是没有比它更大的元素 7.上确界的定义是每个元素都小于等于上确界，且不存在小于上确界的元素成为关系的上界

6.根据无穷公理构造的自然数

$$1 = \{0\}$$

$$2 = \{0, 1\}$$

以此类推 我们可以得到

$$\cap 1(2, 3 , 4...) = 0$$

$$\cup n = n - 1$$

7.考虑在一个集合中各种关系的数量

1. $反对称关系：对于集合A有n个元素，由于对于任意的 < a, b > , < b , a > 或没有这一项有3种可能 ， 且对于 < a , a> 都存在有或没有的问题 ， 因此答案为 2^n 3^x , 其中x为点之间连线的个数$
2. $反自反且反对称关系：显然，为去除 <a , a> 的情况，即答案为3^x$
3. 以此类推

8.考虑各种闭包对于关系的破坏

显然自反性(r)，对称性(s)不会因为关系的扩张而受到影响，而对称性不一定，因此，我们需要考虑对这种情况谨慎处理

9.求取主析取范式和主合取范式的一些方法

求取主析取范式基本策略：向式子后面补充 ,变成一个一坨巨大的东西之后慢慢利用分配率等方式进行化简 求取主合取范式：利用主析取范式和主合取范式之间的关系可以很快求解，大概为找到剩余的项，然后分别用 减掉即可

1.关于积分的可交换性：

2.关于积分与导数的交换：

线性变换的定义

如果我们将线性变换看作是一种对于向量的线性变换关系，这种关系是广义的，可以涉及很多方面。但是，在线性代数层面而不是抽象代数层面，我们当然希望这种变换 是符合线性的，也就是说，我们希望一种变换$\boldsymbol{L}$对于向量满足以下关系：

$$c \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right) = \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right)$$

$$\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right) + \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_2\right) = \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2\right) + \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_2\right)$$

这样，我们就说这种变化是一种线性变换。

简化一下:

$$\\L(\alpha\boldsymbol{v}_1+\beta\boldsymbol{v}_2)=\alpha L(\boldsymbol{v}_1)+\beta L(\boldsymbol{v}_2)$$

在数学上可以证明，对于一个n维向量$a$ 和m维向量 $b$来说，存在一个矩阵 $\boldsymbol{A}$使得$\boldsymbol{A}a= b$成立，这也被称为线性变化的矩阵化表述。

现在拓展到向量之外，如果一种函数或者任何抽象的代数形式，对于 也满足上述 条件，那么，我们也说它是一种线性变换。

特征值（听说还叫本征值）的相关知识

特征值作为矩阵很重要的一个特征量，在整个矩阵学习过程中占据着很重要的位置。首先，在做题过程中，特征值的定义应该首先被考虑 , 是矩阵的特征值，是矩阵的每个特征向量。然后我们需要对于这个式子做恰当变形，如果涉及 , 等情况 ，应该优先考虑在等式两端左乘或者右乘来达到变量代换。上述等式应当作为证明题和计算题的核心。

与此同时，特征值也存在着一些二级公式，如 应当对应于 的特征值。这在某些题目中可能存在一些应用。 其次，特征值是否是半单的也决定着矩阵是否可对角化，矩阵对角化即为将矩阵通过适当的分解使得矩阵能够实现，其中V是

$$ , 是经过 Gran-Summit 正交化的由各个特征向量组成的矩阵。

投影矩阵

对于任何矩阵$\left( 即任意的 \boldsymbol{M}\times N 矩阵\right)$，都可以通过Gram－Schmidt方法进行正交化，从而分解成一个正交矩阵 $A\times \boldsymbol{A}^{T} = 0$和一个上三角矩阵的的乘积，也就是我们所说的QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。由此，我们可以得到投影矩阵$\boldsymbol{A}_P$的一种计算方法，即 $\boldsymbol{A_{P}} = Q\times Q^{T}$ 。

对于一阶的$R^1$，由于显然其是否经过正交化与得到的结果仅为相差常数倍的关系，得到的结果并没有本质上的不同，因此对于向量$a$来说，其余向量在$a$上的投影矩阵显然是$a\times a^T$。 而对于二阶及以上的矩阵平面或者空间来说，显然就没有这么简单了。因此需要经过正交化后再进行处理。

最小二乘

在实际条件中，我们往往无法得到一个最完美的解用来满足$\boldsymbol{A}x = b$，因此我们需要找到一个x使得得到的解尽可能接近所需的解，即$\hat{x}$满足$\boldsymbol{A}\times \hat{x} = b$, 此时，可以左右同时乘以$\boldsymbol{A}^T$使得其能够满足投影矩阵条件，此式可以通过偏导数加以证明，但是我不会（。

应用

由最小二乘和投影矩阵的结合，我们可以得到一个最小二乘中的$\hat{x}$的解法，即$\boldsymbol{A}^{T} A\hat{x} = \boldsymbol{A}^{T}b$，此式也可以写成 的形式，这也是我要记录的重点。 其中Q是Matrix $\boldsymbol{A}$经过Gram-Schmidt方法正交化得到的产物。

在经过这样的过程后求得的$\hat{x}$不仅可以是最小二乘法的解，也可以是$\min\lvert\lvert b-\boldsymbol{A}x\rvert\rvert$ 。

补充，SVD分解和最小二乘的关系

我们知道，任何矩阵都可以分解成$A=U$ $\sigma$ $V^{T} $的形式，因此，矩阵的广义逆$ A^+ $ 可以表示为$V\sigma^+ U^{T}$的形式，其中V和U前面已经说明，而$\sigma^+$ 是$\sigma$ 的一个广义逆，计算方法是将 $\sigma$上的对角线元素取倒数后进行转置。由此可以算出矩阵的广义逆。

接着往下讲， ，这是通过SVD变换和广义逆进行求解的方法。这个方法与上述所讲的$\boldsymbol{QR}$ 分解的本质是一样，但是使用范围更广。

在上vjf小班辅导的时候抽空发了这个post（x，原谅我不认真听课。

我要干啥

这次要发的是在T大xmx老师开设的程序设计基础课上的期末大作业，游戏的本身参考了《人力资源机器》，而我们要做的是用指令行模拟出来一个类似于原游戏的界面。

这个作业的链接

https://github.com/Rosist-Sallina/Cpp_Hugehomework

太懒导致的

因为时间关系和我实在太懒，把OJ部分交给队友之后，很多错误输入处理部分我就直接不做了，这也就导致游戏存在很多漏洞（坏），虽然在正常游玩上没啥问题，但是一旦游戏遇到一些神奇情况就会歇菜，这也是可能需要完善的地方

一些感悟

做程序一定要一次性做到完美，否则后期根据要求再来修改程序真的很痛苦，尤其是在程序写的一团乱麻的时候，在很乱的一堆色块里手动改会耗掉你一下午（坏，泡在图书馆一个下午看写的代码真的痛苦，这还是在有注释的情况下）

北京马o真不错

从来没见过这么多爱马仕导致的

Hello你好啊，我是Rosist ，现就读于华清大学计金班，编程很菜但是正在努力学习（X。希望能多多交流喵谢谢喵。

开始摆烂

喵的怎么写啊

有没有一种可能你来到这个网站出自偶然，但是来了就别想跑了喵，我会把你抓进手掌心的喵。

关注周放patra谢谢喵

谢谢喵，关注rosist谢谢喵。