线性代数期末预习

线性变换的定义

如果我们将线性变换看作是一种对于向量的线性变换关系，这种关系是广义的，可以涉及很多方面。但是，在线性代数层面而不是抽象代数层面，我们当然希望这种变换 是符合线性的，也就是说，我们希望一种变换$\boldsymbol{L}$对于向量满足以下关系：

$$c \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right) = \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right)$$

$$\boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1\right) + \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_2\right) = \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_1 + \boldsymbol{v}_2\right) + \boldsymbol{L}\left(\boldsymbol{v}_2\right)$$

这样，我们就说这种变化是一种线性变换。

简化一下:

$$\\L(\alpha\boldsymbol{v}_1+\beta\boldsymbol{v}_2)=\alpha L(\boldsymbol{v}_1)+\beta L(\boldsymbol{v}_2)$$

在数学上可以证明，对于一个n维向量$a$ 和m维向量 $b$来说，存在一个矩阵 $\boldsymbol{A}$使得$\boldsymbol{A}a= b$成立，这也被称为线性变化的矩阵化表述。

现在拓展到向量之外，如果一种函数或者任何抽象的代数形式，对于 也满足上述 条件，那么，我们也说它是一种线性变换。

特征值（听说还叫本征值）的相关知识

特征值作为矩阵很重要的一个特征量，在整个矩阵学习过程中占据着很重要的位置。首先，在做题过程中，特征值的定义应该首先被考虑 , 是矩阵的特征值，是矩阵的每个特征向量。然后我们需要对于这个式子做恰当变形，如果涉及 , 等情况 ，应该优先考虑在等式两端左乘或者右乘来达到变量代换。上述等式应当作为证明题和计算题的核心。

与此同时，特征值也存在着一些二级公式，如 应当对应于 的特征值。这在某些题目中可能存在一些应用。 其次，特征值是否是半单的也决定着矩阵是否可对角化，矩阵对角化即为将矩阵通过适当的分解使得矩阵能够实现，其中V是

$$ , 是经过 Gran-Summit 正交化的由各个特征向量组成的矩阵。