作者：Rosist Sallina（sallinarosist@gmail.com）

math: true

线性变换的定义

如果我们将线性变换看作是一种对于向量的线性变换关系，这种关系是广义的，可以涉及很多方面。但是，在线性代数层面而不是抽象代数层面，我们当然希望这种变换 是符合线性的，也就是说，我们希望一种变换$\boldsymbol{L}$对于向量$ \vec v_1 \vec v_2 $满足以下关系：

本文2024-11-12首发于Rosist Sallina，最后修改于2024-11-12

作者：Rosist Sallina（sallinarosist@gmail.com）

math: true

test_1

tips:本文逻辑和顺序可能混乱，因为作者是根据题目进行知识点的复习

1.在集合A上等价关系个数的计算

等价关系与划分一一对应，非空集合A上的等价关系个数等于A的划分个数，即等价关系个数等于划分个数。 转换为数学模型：即将n个小球放入m个相同的盒子中，并且不能出现空盒，不同的放球方式代表着不同的划分方式 再转换为第二类斯特林数：$S(n,m)$，代表以上方法

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math: true

投影矩阵

对于任何矩阵$\left( 即任意的 \boldsymbol{M}\times N 矩阵\right)$，都可以通过Gram－Schmidt方法进行正交化，从而分解成一个正交矩阵 $A\times \boldsymbol{A}^{T} = 0$和一个上三角矩阵的的乘积，也就是我们所说的QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。由此，我们可以得到投影矩阵$\boldsymbol{A}_P$的一种计算方法，即 $\boldsymbol{A_{P}} = Q\times Q^{T}$ 。

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math: true

1.关于积分的可交换性：$ 当f(x,y)在[a,b]\times[c,d]上连续时，\int_{a}^{b} dx\int_{c}^{d} f(x, y) dy = \int_{a}^{b} dy\int_{c}^{d} f(x, y) dx$

2.关于积分与导数的交换：$ 当f(x,y) 在[a,b]\times[c,d]上连续且\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}也在其上连续时， \int\frac{d}{dx}\int_{a}^{b} f(x, y) dy = \int_{a}^{b} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} dy$

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